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“设X是域k上光滑投影代数簇,是与k的特征互素的素数,Hi(X,Qe)是X的i阶e-adic上同调群,X与投影空间的超平面的交集是X的子代数簇。”
“与这个子代数簇的上同调类作cup乘积定义出线性映射L:Hi(X,Qe)→H^i+2(X,Qe)”
“对于定义在Q上的光滑代数簇X,考虑其模p约化,而对几乎所有p,约化都是好。给出定义在F_p上的光滑代数簇X_p,此时(Xp(s)=Z.Xp(P^-s):=Eep(∑n≥1.Nn/n.pns).....”
黑板前,徐川脸上带着淡淡的笑容,一边将脑海中的思路整理出来书写到黑板上,一边解释着自己的想法。
站在徐川的身后,法尔廷斯饶有兴趣的看着黑板上的算式。
如果说数学界还有什么公认的难题比七大千禧年难题要更难以解决,那么由教皇亚历山大?格罗滕迪克提出来的(Grothendieck)标准猜想无疑便是其中的一个。
格罗滕迪克老先生在研究Weil猜想时提出了标准猜想,并在该猜想基础上,建立了motive理论。
而如今,motive理论一直指引着算术代数几何的发展。
除此之外,标准猜想有很多深刻的推论,它可以推出Weil猜想,而且可以推出弗罗贝尼乌斯在光滑投影代数簇的上同调群上的作用是半单的。
与此同时,它还能推出代数簇中代数闭链的数值等价和同调等价是是同一个等价关系。
可以说,格罗滕迪克提出的标准猜想是一座真正的数学宝藏,数学界可以从里面挖掘出来的有价值的东西实在是太多太多了。
目光落在面前的黑板上,法尔廷斯眼眸中带着一丝好奇的神色。
从徐川刚开始写的这些数学公式来看,他应该是想要通过已经证明了的韦尔猜将光滑代数簇X解析延拓到全平面,进而满足黎曼猜想。
这条思路借助了怀尔斯和泰勒等人的模定理,也就是谷山-志村证明的谷山-志村猜想,后者作为朗兰兹纲领的特例,是证明费马大定理的关键。
但关键问题是,在L_E(s)在s=1处的展开性状包含了E的结构信息k这是千禧七大难题之一的Birch和Swinnerton-Dyer猜想(BDS猜想),迄今尚未得到证明。
“有意思,他准备怎么做?”
目光落在面前的背影上,法尔廷斯眼眸中闪烁着思索的神色,他将自己代入进了徐川的角度,沿着黑板上的算式继续尝试性的往下推衍着。
脑海中的思绪如闪电,一项又一项看似可行的方案最终都被他推翻了。
Hasse-Weill/L函数包含了大量数论信息,而在对它的推行过程中仅仅是对椭圆曲线定义的L_E(s)就涉及好几个艰深的数学定理与猜想。
现阶段的数学界对一般的高维代数簇X都无能为力,所有成果几乎都源于在志村簇上建立朗兰兹纲领对应的尝试上。
“他该怎么找到高维代数簇X的精确陈述,然后提出可能的证明路径,并最终成功证明?”
站在法尔廷斯的身旁,彼得?舒尔茨和陶哲轩等人眼眸中也带上了一抹狐疑和惊讶。
在场的所有人都是数学界真正的“神仙’,每一个都是手握一枚菲尔兹奖的顶尖大牛,徐川的研究思路对于他们来说自然很容易理解。
但越是能够理解这条研究思路,对于走通这条道路就越是感觉到困难,甚至是不可能。
如果是一个人有这种想法,或许是他可能并不擅长这一领域的研究。
但在场的所有人几乎都萌生了这条路难以走通或者说走不通的想法,那么或许这条路,可能真的难以走通。
除非徐川能直接今天在现场解决掉BDS猜想。
否则这条研究思路怎么看都是死路。
而在今天解决掉BDS猜想......这有可能吗?
办公室中,一群数学界的顶尖大牛看着依旧还在继续阐述自己的研究思路与方向的那个人,眼神中满是复杂的情绪。
黑板前,徐川倒是不太清楚这群人复杂的心理变化,在写下了一行数学公式后,他转过身,笑着开口道。
“Weil猜想的第三部分可以视作关于有限域的代数簇的黎曼猜想,而有关于椭圆曲线上的有理点的问题主要涉及代数数论。
“相信在场的各位都很清楚这些,也很容易看出我的研究思路是基于韦尔猜想与光滑代数簇X解析延拓的。”
“而在这方面有一个巨大的难题,那就是如何对椭圆曲线定义的L_E(s)进行处理,这方面的问题涉及到了BDS猜想等好些个数学难题。”
“那么,接下来我将展示自己研究思路中最为核心的关键!”
“看好了