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:F×F→C
“教授,“徐辰转过身,“您知道朗兰兹纲领里,最被低估的一个工具是什么吗?”
拉福格沉吟:“阿代尔群上的卷积代数?”
“对。“徐辰点头,“传统的数论学家把阿代尔群当成一个装备工具的'架子',用来承载自守形式。但没有人把它本身当成一把武器。”
“我要做的,就是把它当成武器。”
……
徐辰的笔开始在白板上快速移动,但写下的符号十分简洁,甚至有些令人不安的简洁。
他构造的核心对象,是一个作用在GL(2,A_67)——也就是全局阿代尔群的GL(2)上的卷积算子,他将其命名为“测试卷积核“,记作Φ_N。
这个Φ_N的构造很精妙:它的局部分量在每一个有限素数p处,被精确地“调音“成一个与素数p的算术性质完全共振的函数;而在无穷远处,它则被设计成一个衰减迅速的高斯型核函数。
“现在,“徐辰写下第三行,“我们计算这个算子的迹。”
Tr(Φ_N)=∑_πm(π)π(Φ_N)
“左边,是几何侧——它展开后,会自动计数所有满足条件的素数对(p,q),使得p+q=N。”
“右边,是谱侧——它是所有自守表示π对这个算子的特征值的加权求和。”
拉福格看着这两行公式,呼吸微微一窒。
“等一下……”
他走上前,用手指指了指“左边“那个几何展开,“这个几何侧,你是如何保证它精确地计数的素数对的?”
“因为Φ_N的局部分量,“徐辰指向公式,“在每个有限素数p处被我精确构造成了'素数投影算子'——它只对满足p+q=N的素数对有非零贡献,对其他所有整数点的贡献,经过调和分析后恰好相消。”
拉福格沉默了几秒。
“你用局部的算术性质……控制了全局的计数。”
“是的。”
……